序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學原始概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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【關鍵詞】數學原始概念；衍生的概念；數學抽象具有無物質性

我們知道，數學是研究客觀事物的數量關系和空間形式的科學。而研究數學一定是從數學概念開始，然后才由概念與概念之間的聯系形成命題、定理、性質、法則等等。在科學的許多分支中，數學可能要算是一個古老的學科了，它的歷史和人類的歷史幾乎是同樣久遠。當然，它最初還不過是一些數學知識的萌芽，在以萬年為計算單位的漫長時間里，緩慢地逐漸積累著。其中最古老的數學原始概念是世界各國人民世世代代在生活和生產中要解決的問題，經過長期的觀察、歸納、抽象、概括逐步形成和不斷的完善。如分配產品、測量土地、修建廟宇、航海貿易、礦山開發、火炮制造等等，不斷發現和創造各個數學分支。而知識不能遺傳只能通過學習獲得，我們的學生作為數學知識的繼承者，不可能重新嘗試前人幾千年來不斷的探索和逐步完善的過程，許多數學概念的原始生成過程隨著時間的流逝已經不可復原或隨數學的發展逐漸喪失了它本來的面貌。這就需要數學教師與時俱進創造符合教材知識的背景，探索數學概念和生活現實的聯系，通過合理的想象和合情的推理，盡可能的在數學概念教學中自圓其說，才能使學生感受到數學是自然的合理的，有人情味的。把教科書上的學術形態變成課堂上的教育形態，從感性認識上升到理性認識。在知識爆炸的現代，數學知識不僅深入到自然科學也深入到社會科學的各個領域，數學知識的理解應建立在一個比較廣闊的平臺。讓學生穿越漫長的時空隧道進行觀察、歸納、類比、抽象、概括這些數學原始概念以及由這些原始概念衍生出來的另外一些數學概念。經常涉及的原始數學概念有：自然數、代數式、點、線、面、相交、平行、相等、不等、加、減、集合、映射等。現在戲說這些概念的形成及其衍生的概念，如有不當，請批評指正。

首先，解釋一下幾個有關詞語。觀察：就是人們通過感官，或借助于一定的科學儀器，對客觀對象在自然條件下，進行有目的、有計劃、有步驟地考察和描述的一種方法。歸納：就是通過對某類事物中的若干特殊情況的分析得出一般結論的思維方法。我們所說的歸納是指不完全歸納，不完全歸納盡管帶有猜想、想象的成分，所得的結論也不一定真實可靠，但卻是發現數學規律、提出猜想的基本方法，對培養學生的探究意識有著不可估量的作用。與歸納這個詞有關的還有完全歸納法與數學歸納法，雖然同有歸納二字，但它們與不完全歸納有著本質的區別，不完全歸納是一般性的思維方法，而完全歸納法與數學歸納法僅適用于數學。類比：就是根據兩類事物存在的一些相似或相同的屬性，猜測其他的一些屬性也可能相似或相同的思維方法。抽象：就是在頭腦中把同類事物的共同的本質特征抽取出來，并舍棄個別的非本質特性的思維過程。例如，我們從兩個蘋果、兩棵樹、兩個人中得出2這個量，這個2在數學中不再針對具體的兩個東西，2+3=5，也不停留在2個蘋果加3個蘋果等于5個蘋果這個具體的事物上。在數學的抽象中首先保留了量的關系和空間形式而舍棄了其它一切，數學本身幾乎完全處于抽象概念和它們的相互關系之中，任何一個數學推理和計算都是在抽象對象之間展開的。由于所說的抽象就是由特殊上升到了一般，數學研究也就具有普遍意義，它們所反映的不是某一特定事物或現象的量或形的特征，而是一類事物或現象在量或形方面的共同性質。數學抽象具有無物質性。概括：就是把同類事物的共同屬性聯結起來，或把個別事物的某些屬性推廣到同類事物中去的思維方法。概括可分為經驗概括和理論概括。所謂經驗概括就是從事實出發，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎，上升為普遍認識。而理論概括則是指在經驗概括的基礎上由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界的規律的認識。

我們再來看一下漫長歲月中所形成的一些數學概念：

（1）自然數：兩個人、兩個蘋果、兩只羊等，除去他們的物理性質差別外，從數量上看是相同的，經過大量的觀察和歸納，我們把這樣一個數量歸納為2，以后只要與這樣一樣的事物統統概括我2。（2）加法：先有2個蘋果，又得到3個蘋果，共有5個蘋果。記作2+3=5，當然，+號與=號是近代才發明使用的，由若干個相同的量相加，出現了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不過是加法的簡便運算。（3）減法：從總量中減少一部分，就產生了減法，而除法只不過是等量減法的簡便運算而已。如：6個東西每次減少2個，經過幾次才能減完，因為：6-2=4，4-2=2，2-2=0，經過了三次，故簡化為：6/2=3。（4）分數：把一堆東西平均分成幾份就產生了分數。或認為以一條線段去公度另一條線段產生了分數，我認為在交通不便、信息閉塞的古代，不同的地域產生分數有不同的方法。（5）無理數：古希臘畢達哥拉斯學派的弟子發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，經過曲折漫長的過程產生了無理數。（6）負數:以某一量為標準，比該量多時記作+，比該量少時記作-，于是就產生了負數。至于后來又產生了復數，它們統統是由自然數衍生而來的。（7）代數式：到了十六世紀，伴隨著文藝復興的，科學革命的時代也開始了。和天文學同時，西方近代數學也隨之興起。十六世紀西方數學的最大成就，乃是符號代數學的創立。法國數學家韋達在《分析引論術》中，用輔音字母表示已知數，用元音字母表示未知數，并開始用這些字母間的計算代表具體數值間的計算。而這正是算術和代數之間的顯著區別。用字母表示數，這在今天學過代數的人看來是一件稀松平常的事情，如果我們追溯代數學的歷史，就不能不感到驚訝，用字母表示數的歷史竟是如此漫長。美國數學家和數學史家M.克萊因在批判“新數運動”時曾指出：“從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和多笛卡爾之前，沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數。”由于不知道用字母表示數，數列通項概念在修辭代數里是根本不存在的，所有數列求和的結果只能是針對具體的若干項。當有y個字母x相加時，就產生了單項式xy。即：x+x+……+x=xy。當然，x*x=x2是屬于人為的規定表示方法：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。有了單項式、加法、減法就能衍生出多項式。而分式是由分數類比而產生的。方程的產生。（8）在中國東漢初年數學名著《九章算術》和古希臘數學家丟番圖及古印度數學家波羅摩笈陀的著作中對解方程都有論述。中國古代解決一次聯立方程(線性方程組)問題，用算籌表示一次聯立方程組，類似于由方程組各系數構成的矩陣，其解法和現代中學代數中的消元法基本相同。但古希臘和古印度的解法遠不如中國的完整。直到十六世紀，歐洲才有了加減消元法。（9）有了代數式、等號、大于號、小于號等符號以后，方程、函數、不等式的研究獲得了飛速發展。當n個x相乘的結果為a時，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后來對a、n的細化討論，就另當別論了。（10）法國數學家笛卡兒（1596―1650）是解析幾何的創始人之一，他的中心思想是使代數和幾何結合起來。在《幾何學》中引入了坐標方法和用方程表示曲線的思想。最初所使用的坐標系中，兩個坐標軸的夾角不要求一定是直角，而且軸并沒有明顯的出現。至于“坐標”，“坐標系”，“橫坐標”，“縱坐標”等名詞，也是后來人們逐漸使用的。雖然笛卡兒當初的坐標系還不夠完善，但是笛卡兒當初邁出的第一步具有決定意義，它促進了微積分的創立。從此數學進入了變量數學的新時期。（11）由于微積分學的創立而產生的一些分支:微分方程、無窮級數、微分幾何學、變分學等等的進一步發展，就成了十八世紀數學的最重要內容，這些內容構成了今天數學各分支學科中比較重要的一個學科――數學分析。（12）函數：函數的概念，從一開始，就與動點的軌跡與解析幾何的產生是分不開的。眾所周知，當對動點的軌跡進行描述時，橫坐標和縱坐標相互依賴而同時發生各自變化，很自然可以使人們產生變量、因變量的思想，從而也可以很自然地導入函數的概念。至于函數的概念不斷發展，反映了近、現代數學的迅速發展，同時也與解析數學、函數論的發展相輔相成。

【參考文獻】

[1]季素月.中學生數學能力培養研究：東北師范大學出版社.1999

[2]張雄、李得虎.數學方法論與解題研究：高等教育出版社.2003

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關鍵詞：數學教學，數學知識，知識類型，教學方式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）06-262-01

根據數學知識本身的特點，可把數學知識分成五種類型：數學概念、數學命題（公理和定理）、數學問題、數學思想和數學方法、數學歷史知識。下面分別對它們及其教學方式進行闡述：

一、數學概念及其教學方式

1、數學概念。一般來說，數學知識的學是開始于數學概念，因此，可以說數學概念是一切數學學習的基礎，如要學習“一元二次方程”，首先必須明確“一元二次方程”這一數學概念的含義，然后才能探究它的解法及應用。

一般來說，數學概念通常有以下幾種情況：

（1）反映對象之間的相互關系的（2）反映對象特征的，（3）反映對象的基本元素的。

2、數學概念的教學方式。（1）對于數學概念的教學，首先應盡量讓學生獲得感性認識，即來源于學生觀察自己所熟悉的日常生活和生產實際中的現實模型，尤其對一些原始概念更應如此，如點、線、面，學生只需觀察課桌的邊沿及桌面等實物，并進行抽象，就可形成這些概念，有些概念不是直接來源于實物模型，是產生于相對低級的抽象概念，這就需要我們在已有的舊概念的基礎上學習新概念。（2）在學習數學概念時，既要重視對概念本身的把握，也要讓學生了解數學概念的形成過程，在教學時應注意承前啟后，形成一個具有層次結構的系統。如在《四邊形》一章中，由四邊形平行四邊形矩形正方形。在教學時可自制教學模型，從運動的角度，由舊的概念引出新的概念，讓學生對數學概念有一個較為深刻的理解。

（3）多媒體也給我們數學概念的教學帶來了極大的方便，如在《常見幾何體及其分類》、立體圖形的《三視圖》教學時，利用多媒體展示模型，往往能收到較好效果。

二、數學命題及其教學方式

1、數學命題。數學命題是闡述概念具有某種性質或概念之間具有某種關系的判斷的語句，數學命題分為公理和定理。公理是人們在實踐中得出的得到公認而不需要證明就確認其正確性的原始命題；定理是在原始命題的基礎上，通過邏輯推理證明其正確性的真命題，如歐幾里德《幾何原本》包括5條公理，5條公段（常統稱公理），119個定義，465條命題，構成歷史上第一個數學公理體系。

2、數學命題的教學方式。初中階段所學公理少且比較淺顯，如等量加等量，其和相等，學生容易接受，在此不再贅述。

數學定理的教學不要固守“展示定理證明應用”的老套路，而應以問題的形式提出，引導學生通過觀察、猜想、討論、試驗、歸納等方式來自己探究、發現定理的內容，激發學生探究未知的好奇心，引發他們主動解決問題的興趣。同時定理的學習不僅僅是定理本身，還要主動思考定理是否存在逆定理，定理的條件是否可以刪減，并尋求相應的實例，從各個角度去剖析定理，以達到真正理解定理的目的。

三、數學問題及其教學方式

我們把以數學為內容，或者不以數學為內容，但必須運用數學知識才能解決的問題稱之為數學問題，數學問題可分為純數學問題和應用題。數學問題是數學的心臟，是進行數學教學的載體，一切數學學習歸根到底要能用之于解決數學問題。

數學問題的設計應該以學生的生活經驗為基礎，要賦予數學問題合理、生動而趣味的現實背景，以此激發學生解決問題的欲望與潛能。

問題的探索過程中，要引導學生綜合多種感官，進行直覺猜想，動手操作，相互交流，歸納論證。

四、數學思想方法及其教學方式

數學思想方法是數學的精髓。初中階段常用的數學思想有：方程思想、數形結合思想、分類思想、歸納思想、轉化思想等；常用的數學方法有：特殊化、一般化、反證法、待定系數法、配方法等。

數學思想方法的獲得需要學生在平時學習中反復體驗、實踐、探究，這樣才能逐漸認識，理解各種數學知識的用途及其使用的場合，最終提高學生解決問題的能力。教師在平時教學中，應有意識地讓學生體會到利用數學思想解決數學問題的奇妙之處。

五、數學史知識及其教學方式

新課改以來，數學史知識開始受到廣大數學教育工作者的重視，但由于教材中數學史知識的貧乏，廣大教師認識上的不足等多方面原因，在實際教學工作中，數學史知識沒有發揮它應有的教育功能。

首先，數學上的歷史故事能進入學生的知識結構，成為學生提取相關內容的導引線，生動有趣的數學故事也能激發學生的學習熱情。其次，給學生傳授歷史上數學家在重大發現的思維過程，有利于掌握數學的思維方法，從而提高教學質量。再次，數學史知識還能培養學生敢于質疑、勇于創新和堅持不懈的精神品質。在數學史的教學中，要讓學生理解故事背后所包含的深層內涵，可采用多種形式進行。

總之，把數學知識進行分類，并根據知識類型選擇適當、有效的教學方式，有利于學生認識數學知識的本質，也有利于教師充分理解數學知識，優化教學方式，從而提高數學教學質量。

參考文獻：

[1]“人教版”與“華師版”初中數學教材比較[OL].互聯網-畢業設計-道客.

[2] 張杰.淺談如何學好初中數學[J].讀寫算：素質教育論壇，2012（20）.

[3] 中學數學問題解決教學研究[D].互聯網-碩士論文-道客巴巴.

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【關鍵詞】函數教學

一、認識函數思想,引領教學方向

函數描述了自然界中量的依存關系,反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規律,函數的思想方法就是提取問題的數學特征,用聯系變化的觀點提出數學對象,抽象其數學特征,建立函數關系,并利用函數的性質研究解決問題的一種數學思想方法。盡管內容不多,但函數的思想已經有所體現,它仍占據著重要地位。

二、理清初中函數概念,系統掌握初等函數知識

1、理解概念的邏輯性。數學概念可分為兩個重要方面:一是概念的'質',也就是概念的內涵(概念的本質屬性);二是概念的'量'也就是概念的外延(概念所有對象的和)概念的外延還有大小之分,外延大的概念叫做種概念,外延小的概念叫做屬概念,一個屬概念與其他屬概念本質上的差別又稱為屬差,要想給某一個概念下定儀,首先應給學生指出被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,既概念定義 = 種概念 + 屬查。

2、明確概念的層次性。一般的概念都是通過對實驗現象或對某中具體事物分析經過抽象概括而導出的,他是一個形成過程,中學中的許多概念,是從幾個原始概念和公理出發,通過一番的推理而擴展成為一系列的定義和公里,而每一個新出現的概念都依賴著舊的概念來表達,或是由舊概念推倒出來的。

3、掌握概念的抽象性。初中學數學中的許多原始概念,都是對具體的數和形的感知而形成表象,再從表象經過抽象概括而形成的。概念是人們對感性材料進行抽象的產物,感性認識是形成概念的基礎。如果學生沒有感性認識或感性認識不怎么完備時,我們就應該借助與實物、模型、多媒體課件、或形象的語言進行較直觀的教學,使學生從中獲得感性認識。

三、繪制初等函數圖象 ,理解初等函數性質

著名數學家華羅庚先生說:"數缺形時少直觀,形缺數時難入微"。因此要想繪制初等函數圖象,理解其性質,首先要了解"數形結合"的思想。數學中大量數的問題后面都隱含著形的信息,圖形的特征上也體現著數的關系。我們要抽象復雜的數量關系,通過形的形象、直觀揭示出來,以達到形幫數的目的。

四、運用函數同其他學科和實際的聯系,培養學生學習函數的興趣

函數是這樣定義的,"設在某變化過程中的兩個變量x和y,若對于x在某一范圍內的每一確定的值,y都有唯一確定的值與它對應,那么,就把y稱為x的函數 ,x是自變量,y是因變量"。

如圖1⑴中,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm。點P從點A出發,沿路線ABCD運動,到點D停止;點Q從點D出發,沿DCBA路線運動,到點A停止。若P、Q兩點同時出發,點P的速度為1厘米/秒,點Q的速度為2厘米/秒。a秒時,P、Q兩點同時改變速度,點P的速度變為b厘米/秒,點Q的速度變為d厘米/秒。圖1第2個圖是點P出發x秒后APD的面積S1(平方厘米)與x(秒)的函數關系圖象。圖1第3個圖是點Q出發x秒后AQD的面積S2(平方厘米)與x(秒)的函數關系圖象。

2、函數與市場經濟

例2、某化工材料銷售公司購進了一種化工原料共7000千克,購進價格為每千克30元。物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元。市場調查發現:單價定為70元時日均銷售60千克;單價每低1元日均多售出2千克。在銷售過程中,每天還要支出其他費用500元(天數不足一天時,按整天計算)。設銷售單價為x元,日均獲利y元。

頂點坐標為(65,1950)。二次函數的草圖(如圖2)所示。

觀察草圖可知,當單價定為65元時,日均獲利最多,是1950元。

⑶、當日均獲利最多時,單價為65元,日均銷售60+2×(70-65)=70千克,那么總獲利為1950×(7000÷70)=195000元

當銷售單價最高時,單價為70元日均銷售60千克,將這種化工原料全部售完需700÷60≈117天。那么總獲利為(70-30)×7000-117×500=221500元

221500>195000,且221500 - 195000 = 26500

銷售單價最高時獲總利最多,且多獲利26500。

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關鍵詞：　構造性數學　遞歸函數　可靠性

一，構造性數學的產生與發展

構造性數學是現代數學研究的一個重要領域。它的根本特征就是對可構造性的強調。所謂可構造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實“存在一個X滿足性質A”的證明稱為構造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質A的一個x；或者能從此證明中得到一個機械的方法，使其經有限步驟后即能確定滿足性質A的這個x來。反之，經典數學（非構造性數學）中的純存在性證明被稱之為非構造的。非構造性證明主要是通過使用反證法來實現的。人們一般把這種強調可構造性的數學稱為構造性數學。

構造性數學最早起源于一種構造性哲學思想，這種思想可以追溯到康德那里。康德認為，數學的最終真理性在于數學概念可以通過人的智慧構造出來。他說：“數學必須根據純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構造出來”。又說“數學知識是從概念的構造得出來的理性知識。構造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應的直觀。”（〔1〕，第39頁）后來，19世紀德國的克羅內克進一步指出：“上帝創造了整數，其余都是人做的工作。”主張自然數與數學歸納法是數學最根本的和直觀上最可信的出發點，其它一切數學對象都必須能在有限步驟內從自然數中構造出來，否則就不能作為數學對象。由此克羅內克把許多數學成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設的少，故其思想在當時并未產生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數學家也都是倡導構造性數學研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數學哲學的思想，他們實際的數學工作并未嚴格地遵循自己的哲學思想。因此，現代意義的構造性數學應以布勞威爾的直覺主義數學為開端，迄今，在構造性數學的研究領域里，由于宗旨、觀點和方法的不同，已經形成了一些不同的學派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數學以外，還有希爾伯特的元數學、畢曉普等人的構造性數學以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數學和希爾伯特的元數學，我國數學哲學界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來發展起來的畢曉普、馬爾科夫的構造性數學作些簡述。（〔2〕、〔3〕第101—109頁）

以畢曉普、邁希爾等人為代表的構造性數學是一個與早先直覺主義數學齊名但又不同于它的新的構造性數學。他們的構造性數學研究是在數學領域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數。他們所關心的不是數學的奠基問題，而是要用構造性方法來研究數學。他們把構造性數學看成古典數學的一個分支，在這個分支中所討論的對象都要求是可計算的。以畢曉普的工作為例，他認為只證明一個數學對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機械的辦法把這個對象構造出來。他不用非直觀的概念來重建數學，而是從標準的算術規則和有理數出發，通過避開“理想”觀念并不斷地檢驗從直觀生成的對象和定理，逐步地進行構造，以求得數學的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構造的合理性。如確定一個集合，原來康托的樸素定義只要求給出一個判別集合中元素的規則即可，而畢曉普認為還應要求擬定出一個辦法來真正構造集合的一個元素并證明集合中兩個元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經典數學的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發展出相當大的一部分有價值的數學。1967年畢曉普的《構造性分析》的出版，標志著這一新的構造性數學的建立，而隨后《構造性泛函分析》的問世，則表明了這一領域的新進展。

構造性數學的另一個新體系是由馬爾科夫、沙寧創建的。他們的構造性數學研究是以算法概念為基礎的，即把其它一切概念都歸約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語言表達，所有引用實無窮的話都嚴格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對構造分析學作了相當深入的研究，對于許多數學分支的算法化以及制定構造邏輯的語義學都作了很可觀的工作。如他把實數定義成一種逐次逼近的算法，實函數也就等同于一個算法。他的正規算法就是目前少數幾個力量最強的精確化的算法概念。

以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構造性數學，是對早先直覺主義數學的發展、揚棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強調在構造數學內部要求“證明存在一個具有性質P的x，必須指出一個有限的方法來構造x，以及找出一個有限的方法來證明x具有性質P”。但另一方面，它又不同于直覺主義數學，它不象直覺主義數學那樣極端地要把全部數學都“構造化”，他們只是想從構造性的角度建立一門有別于傳統數學的新學數學，因為在他們看來，從構造的觀點來研究，對許多老問題都會有新的見解。他們認為構造性數學和非構造性數學是現代數學的兩大傾向，是可以并行發展和相互促進的。

二　構造性數學的原則與基礎

如前所述，對可構造性的強調是構造性數學的根本特征，其實也可以說，這就是構造性數學的基本數學原則。它要求一個關于“存在一個具有性質P的x的證明”，必須解釋x的構造是怎樣實行的。這與通常“純粹存在性證明”的做法不一樣，在那里，一個具有性質P的x的存在性是通過采用指出假設“x不存在”就會導致矛盾的辦法來證明的。從構造性的觀點看，后一證明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未給出尋找x的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構造主義者還必須采取一些附加的構造性辦法來證明x具有性質P。因此，僅僅證明如果x不具有性質P就會導致矛盾是遠遠不夠的。為了充分認識構造性數學與非構造數學之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個例子給予說明。如代數基本定理：

任何復系數的非常數多項式f至少有一個復根。　（Ⅰ）

對于（Ⅰ）最著名的非構造性證明是，假設f不取零值，把劉維爾定理用于f的倒數，得出1／f是常數，于是f是常數，矛盾，證明完成。從構造的觀點看，這里證明的并不是代數基本定理，而是較弱的命題：

不取零值的復數上多項式是常項。

（Ⅱ）

因為上述證明不能幫助你計算100階多項式的根，它沒有給出多項式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項系數為1的多項式的代數基本定理給出了一個構造性的證明（證明的大體思路可參見文〔4〕）。有了這個證明，就可以求任意階（如100階）多項式的根了。

應該指出，每一個構造性證明也是同一命題的一個經典證明。布勞威爾的證明也是代數基本定理的一個經典證明。盡管布勞威爾的證明確實比用劉維爾定理的證明更長，但它也告訴了我們更多的信息。代數基本定理在構造性數學中被布勞威爾解釋成：有一個適用于任何復系數的非常數多項式f的有限方法，我們能夠用以計算f的根。

以上只是我們例舉的一個例子，其實每一個經典定理都是向構造性數學提出的一個挑戰：找出一個構造性的說法，并給它以一個構造性的證明。然而在多數情況下，找出經典定理所對應的構造性內容絕非易事。許多經典的定理至今也看不出將其進行構造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構造性數學內部不得不暫時將這些有意義的經典數學內容排斥在外。但應指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。

另一個重點問題是構造性數學的數學基礎問題。這是一個涉及構造性數學的可靠性，以及可構造性何以能夠得以實現的重要問題。對此我們分兩部分來談。

首先，我們來看直覺主義數學的數學基礎。眾所周知，直覺主義數學是以自然數理論為其數學上的出發點。因此對于直覺主義數學的建構來說，首要的問題就是如何依據構造的標準在自然數的基礎上建立起它的實數理論，因為實數理論是整個分析學的基礎。有理數的構建是容易的，只要把有理數作為整數對引進即可。關鍵是如何在構造意義下給出實數和實數連續統的概念。為了構造實數概念，布勞威爾首先獨創了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構造性的標準重新定義的一種集合：它等同于已構成的數學對象所可能具有的一種性質，依據這一性質，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進一步布勞威爾引進了“選擇序列”的概念：“在任何時刻，一個選擇序列a系由一個有窮的節連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數選擇序列”取代了經典分析中的有理數柯西序列概念，并稱之為“實數生成子”。于是構造意義下的單個實數就被定義為實數生成子的一個等價屬種。實數連續統的概念建構的比較晚，直到1919年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構了符合構造性要求的連續統概念（具體的建構方法可參見〔5〕第168—170頁）。在那里，每個可能的選擇序列就是一個可構造意義下的單個實數，而整個展形就是可構造意義下的實數連續統，兩者是同時構造出來的。所謂展形，實際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數的次序進行下去。這樣，作為這種自由選擇的結果就不只是某個特殊的序列，而是各種可能的序列。實數理論的重構，為直覺主義數學的展開奠定了基礎。

至此，或許有人會認為直覺主義數學的基礎已經得到圓滿的重構和解釋，其實不然，因為直覺主義者對其一直強調的“可構造性”始終沒有給出一個明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認為：“反唯象論的構造方法的成功是不可否認的。然而它所依據的最終基礎仍是一個謎，甚至在數學中也是如此。”（〔6〕，第112頁）人們對于什么是“直覺上可構造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構造主義者認為，真正的數學是不應包含“否定”概念的，因為任何否定性的命題（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一p就意味著“我們給出了這樣一種構造。由證明p的構造出發就會得出矛盾”），都假設了一個不可能實現的構造（證明p的構造）。另外，也有的直覺主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實數理論就無法得到重建。之所以人們對什么是直覺上“可構造的”沒有一個統一的認識，其原因就在于“可構造的”只是一個不精確的日常用語，因而會被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來，這一概念是無需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來，卻有著進一步解釋的必要。這里我們僅簡單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個基本概念，這就是“構造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個解釋過程繁長，故只給出其結論（詳見〔3〕第97—98頁，〔7〕第545—551頁）。克林的結論是：直覺主義的構造等同于部分可計算函數。進一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過是任意的序列；布勞威爾的函數則是部分可計算函數。克林指出，只有存在相應遞歸函數的公式才能在直覺主義系統內證明。由此，直覺主義數學的基礎就被克林歸約到相遞歸函數或可計算函數之上了。另外，哥德爾對構造性也作了類似于克林的解釋，不過哥德爾可容許構造的類要寬得多，他不是把構造等同于可計算函數，而是等同于可計算泛函（〔3〕第99—100頁）。

下面我們再來看看后期構造數學的基礎。直覺主義數學之后的構造性數學表現出多元的傾向，它們容許的數學對象也更寬，采取的構造性方案也各有特點。這里我們無意對它們的細節進行考察，只是想簡要地分析一下各自的數學基礎。斯派克是直覺主義數學之后較早表現出構造性傾向的數學家之一，他在1949年就考察了一類較窄的實數，他稱之為原始遞歸實數。它以（1／2）［n］的精度來逼近：

（附圖　）

其中f′、f″、g均是原始遞歸函數。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級數Σf［，（n）］／g［n］部分和來逼近。羅賓遜（1951年）、里斯（1954年）等后來又給出了更廣一類的實數，稱為可計算實數，也是利用遞歸函數進行逼近而得出的。不過為了建立構造性分析學，更主要的是要給出構造意義下的函數乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在1959年給出了一個叫可計算實變函數的概念（〔3〕第103頁）。克林也考慮了一類部分可計算泛涵，這些泛函使每個函數f都與一相對于f可計算的部分函數相關聯。到了60年代，構造性數學有了一個大的發展。首先邁希爾與德克創立和發展了一種整數集的遞歸等價物的理論，這個理論的特點是用整數集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。1967年畢曉普出版《構造性分析》，開創了構造性數學的新時期，而他的構造性數學的根本特征就是把一切數學對象都化歸為可編碼的對象和遞歸函數。后期構造性數學中另一個體系是馬爾科夫、沙寧創建的算法概念為基礎的理論。他們采納的也是構造性邏輯，但他們把一切概念都歸約為算法這個概念。馬爾科夫提出的正規算法就是目前知道的最有力量的少數幾個算法之一。現已證明，正規算法與前面提到的遞歸函數或可計算函數都是等價的。這樣一來，我們便就可以不作區分地講，構造性數學的基礎是遞歸函數或算法。

綜合上述，我們認為，構造性數學的基礎歸根到底是遞歸論。或者說，所謂構造性、可構造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價的。這就是我們對構造性的理解。有了這樣一種解釋，我們也就基本了解了“構造性”的真實涵義。盡管從哲學上講，它可能還具有更深刻更豐富的內涵，但從實踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進而也就是能行性。

三、構造性數學的意義及其它

在對構造性數學的意義作出評述之前，有必要先弄清楚以下兩個問題：1．構造性數學產生的原因是什么？2．構造性數學所要解決的問題和所要達到的目的是什么？

在經典數學如此成功的情況下，為什么還會出現構造性數學？構造性數學產生的原因是什么？這確實是對構造性數學進行哲學研究所必須回答的一個問題。我們認為，原因主要有以下四個方面：一、為了解決由于集合悖論的出現而引發的第三次數學危機。這是布勞威爾直覺主義數學產生的直接原因。對此，大家已比較熟悉，無須多言。然而這只是一個表層的原因，事實上還有以下更深刻的哲學原因。二、為了解決數學概念和方法的可靠性問題。由于集合悖論的出現，使得直覺主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數學這個問題上。他們認為“存在必須被構造”。因此，只有經過構造性檢驗的數學才是可靠的。這樣一種認識論主張，是構造性數學產生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構造性數學、尤其是后期構造性數學產生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個根均是未知的。構造性數學就是針對純存在性證明的這個缺陷，提出要證明一個方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構造性數學的角度看經典數學，會產生許多新的見解、新的方法，這不僅可以獲得對數學更深刻的認識，而且可以促進兩類數學的共同發展，這是后期構造性數學產生的又一原因。以上這些原因概括起來也就是兩點：一、經典數學本身的不足；二、“存在必須被構造”的認識論信念。我們認為，正是這兩個根本原因，引發了在本世紀產生的構造性數學。

從對構造性數學產生原因的以上認識，不難看到，早期構造性數學所要解決的就是數學基礎問題，所要達到的目的就是確立數學的可靠性。后期構造性數學的目的沒有這么強，它們不再去解決數學的基礎問題，而只是用構造性方法來研究數學，建立一門與經典數學平行的構造性數學。在數學可靠性問題上，盡管后期構造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學主張，尤其是“原始直覺”觀念，但他們還是吸取了“存在必須被構造”的可靠性觀念。因此，確立數學的可靠性依然是后期構造性數學的目的之一。那么構造性數學是不是解決了它想要解決的問題呢？通過對這個問題的回答，可以看到構造性數學的重大意義和特殊價值。我們先來看看早期構造性數學是不是解決了數學的基礎問題。或許有人會對此問題的提出感到奇怪，不是早就說直覺主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實問題并非如此簡單。盡管在人們為數學大廈尋找基礎的一個世紀以來，直覺主義已遭到世界數學界多數人的反對，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺主義的“失敗”僅僅是因為其“過于謹慎而一時”地拒斥了許多被認為很有意義的經典數學，它在邏輯上并沒有被宣告失敗。現在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒有了，但新的構造性數學的發展正方興未艾。如果這類構造性數學能夠取得全面的突破性的大進展，誰又能保證直覺主義數學不會“卷土重來”？事實上，相信構造性數學可能會獲得成功的人是始終存在的，且不說構造主義者本身，非構造主義者，如克林也相信：直覺主義地重建經典數學的可能性還是存在的（〔7〕第55，551頁）。由此我們認為，構造性數學依然是重建數學基礎的一個可能的途徑。那種認為直覺主義計劃已徹底破產的認識是過于武斷的。

后期構造主義者試圖建立一門與經典數學平行的構造性數學，我們認為這一計劃正在實現的過程中，近來構造性數學成果的不斷涌現就是證明。構造性數學產生的意義，不僅在于出現了一門新的理論、開創了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時也在于構造性的成果更便于應用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說，構造性數學彌補了經典數學的不少缺陷。聯系到計算機科學的發展，這種構造性數學的研究就更有其深遠意義了。無怪胡世華教授說：“在非構造性數學的研究中，構造性成分越多的部分往往對自身的發展也越有意義”。（〔8〕第268頁）

進一步，構造性數學是否達到了它最初的確立數學可靠性的根本目的呢？由于數學的可靠性問題已遠遠不是一個單純的數學技術問題，更主要的是一個哲學問題，因此對這個問題的回答不可能有一個終極答案，對構造主義者的回答人們也會仁者見仁，智者見智。故這里我們只是給出自己對這一問題的一些看法。我們認為，在哲學上，構造性數學的產生提出了一個新的“可靠性”觀念。直覺主義者認為，一切非構造的存在，都是“超出一切人類的真實可行的‘絕對’，”正是因為相信了這樣一種“絕對”，經典數學才“遠遠地不再是有真實意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了。”（〔7〕第50頁）為此，直覺主義者強調：存在必須是被構造。認為只有一步一步（有限的）構造出來的東西才是真實的、有意義的、可靠的。他們把經典數學中的“純存在”視為一種無異于形而上學的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著‘被構造’，那就一定包含某種形而上學的意義。”（〔9〕第241頁）在黑丁看來，對這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數學的任務，認為應該“把數學當作某種比形而上學簡單得多、直接得多的東西來研究”。為此，直覺主義才突出地強調應從非構造性向構造性化歸。我們認為，這是在從數學認識論上提出了一種新的可靠性標準或觀念。這種標準或觀念從實用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應該得到采納的，它對“信息時代的數學”（胡世華語）的發展是很有意義的。當然，這也并不妨在經典數學中人們有時（即不得已時）可以采用更靈活的可靠性標準。但我們認為，可構造性是一個更可靠的可靠性標準，應該成為數學家和哲學家評判數學可靠性的第一標準或最高標準。至于第二、第三等更靈活、更弱的標準，不同的數學家和哲學家可能會有不同的選擇。那么何以見得可構造性就是更強的可靠性標準呢？構造性數學就真的比經典數學更為可靠、更具可接受性嗎？我們認為，答案應該是肯定的。道理很簡單，就是因為構造性數學的原則遠較非構造性數學嚴格，構造性數學成立的每一定理對于非構造性數學也成立；反之，非構造性數學中成立的定理卻不一定在構造性數學中成立。因此，構造性數學實際上成了非構造性數學的一個真子集。另外，從邏輯基礎的角度講，直覺主義邏輯的公理和定理在經典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺主義邏輯是經典邏輯的一個真部分。我們認為，這些理由完全可以表明，以構造性為可靠性標準而建立的定理比經典數學中的定理更可靠。

我國數學哲學界對構造性數學及其哲學主張評價普遍較低，其原由不外乎這么幾點：1．直覺主義數學排斥了一大部分具有應用價值的經典數學。2．排斥了實無窮和經典邏輯。3．與經典數學相比，構造性數學顯得繁瑣和復雜，對經典數學的構造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認為是不可能的）。我們認為，這些并不構成對構造性數學及其哲學主張的否定。對此可以簡要地分析如下：首先，構造性數學是一門全新的數學理論，它的邏輯基礎、數學原則和哲學主張不可能完全等同于經典數學。因此，我們必須正視構造性數學的獨特性。有什么理由說，選擇實無窮就是對的，而選擇潛無窮就是錯的？又有什么理由說，選擇經典邏輯就是科學的，選擇構造性邏輯就是不科學的？我們沒有超越實無窮和潛無窮的“絕對無窮觀”，也沒有超越經典邏輯和構造邏輯的“絕對邏輯”，我們沒有終極的絕對的參照系。實際上，反對潛無窮只能是站在實無窮的立場上，反對構造性邏輯也只能是站在經典邏輯的立場上。但反過來也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點只能是實踐——數學的內部實踐和外部實踐。不管是實無窮、潛無窮，也不管是經典邏輯、構造邏輯，只要以它們為基礎能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應用，那么我們就要承認它們。說構造性數學顯得繁瑣和復雜，這也不是絕對的，如復分析中對畢卡大定理的構造性證明就顯得更為直觀，它的非構造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱為橢圓模函數的較高深的數學工具，后來雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復，而相應的構造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數的基本性質。說構造性數學進展緩慢、難以成功，這并不意味著構造性數學不能成功。何況它在內容上的復雜和進展上的緩慢是有原因的：每一個構造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實用的信息。因此我們把構造性數學的復雜和緩慢看作是為了獲得更多更實用的信息所必須付出的代價。應該承認，這種代價的付出是值得的。至于說到直覺主義數學排斥了一部分有價值的經典數學，我們說這并非直覺主義數學的過錯，因為對部分經典數學的排斥并非邏輯地注定了的，誰又能保證這不是由于對經典數學的構造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會再排斥。如果排斥是必然的，則正說明構造性數學的獨特性，說明數學具有構造性和非構造性兩個不同側面，說明這兩種數學確實存在不可化歸的關系。

也許會有許多人說，他們反對的只是直覺主義的哲學主張。在我們看來，直覺主義哲學除了它所主張的潛無窮觀和構造性邏輯外，就是這么兩點：一、存在必須被構造；二、原始直覺是數學的基礎。關于潛無窮觀和構造性邏輯前面剛剛談過，不再重復。一些人對直覺主義者把可構造性作為數學理論可靠性的標準表示反對，前面我們也進行了反駁，并指出了可構造性是更強、更可靠的可靠性標準。至于提到“原始直覺是數學的基礎”這一哲學主張，我們認為首先應該區別它的兩種不同涵義：一是從數學發生學的角度講，數學是產生于人類的原始直覺，原始直覺是產生數學的基礎。二是從數學認識論的角度講，數學的可靠性根源于人類的原始直覺，原始直覺是保證數學可靠性的基礎。我們認為，直覺主義者在講“原如直覺是數學的基礎”時，包括了上述兩層意思。不過我們認為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對此我們將另文專論），后者是錯誤的。原因正如波普爾所說：相信知識在發生學或心理學上是先驗的，這是對的；但認為知識都能先驗地正確，就大錯特錯了。源于人的直覺的數學，如果沒有被邏輯地構造與證明，它就沒有獲得必要的可靠性。但聯想到直覺主義者隨時都在強調可構造性，因此他們在哲學上的一些錯誤并不會影響到其數學的可靠性。說直覺主義哲學大體上是可接受的，還有一個有力的理由，即在這種哲學主張的基礎上而建立起的直覺主義數學，并未象經典數學那樣一再地發生危機——出現悖論，它是自相容的。

美籍華人王浩先生曾認為，構造性數學是做的數學，非構造性數學是在的數學。對此，我國著名數學家胡世華先生給予了如下的解釋和進一步的發揮：“數學的在是信息模式和結構的在；數學的做是信息加工。構造性數學的傾向是用數學取得的結果把結果構造出來，側重于思維的構造性實踐，非構造性數學的傾向是數學地理解問題和規律，建立數學模型，形成數學理論體系，追求科學思想”。（〔8〕第267頁）我們認為，這些看法是比較客觀的。但應進一步指明的是，構造性數學并非像許多人認為的那樣，總是直接因襲標準的非構造性數學。事實上，構造性數學不是命中注定永遠要靠坐吃經典數學這個老板來發展。這兩類數學的關系是共生性，而非寄生性的。構造性數學的發展還不足百年，相信它在未來的發展中，會有一個又一個的重大突破。當然這已是后話了。

參考文獻

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〔8〕　胡世華：“信息時代的數學”載《數學與文化》，北京大學出版社，1990年。

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一、服務專業需求，整合教學內容

高職數學教學必須緊貼專業需要，以“必需夠用”為度。高職數學教師基本是數學專業畢業的，對數學理論游刃有余，但對數學應用特別是專業方面的應用則無從入手，在實際教學中教師往往更注重理論的系統完整性， 而忽視其應用性。這些都背離了高職教育的培養目標， 制約著數學教學質量的提高，影響著高職數學課程的生命力。為此，我們把數學教師劃分到各系的相關專業中去，深入調研后決定專業需要數學知識的范圍及類型。精選經典教學內容，引進不同專業新的科技成果，克服教材教學內容的局限性和不適應性，有利于高職數學應用教學的開展與實施。我們將高等數學、線性代數、離散數學、數學實驗、數學建模整合成計算機數學；將經濟數學、線性規劃、概率統計數學實驗、數學建模整合成新的經濟數學；將經濟數學、工程數學、數學實驗、數學建模整合成新的建工數學等，隨著科學技術的發展, 學科的互相滲透、溶合、轉化是必然之勢, 這樣從課程體系上實現了符合學科發展的轉化, 從而使高職數學課程更具有生命力。

二、加強概念教學，服務專業應用

數學概念理解的程度直接關系到學生對專業問題的認識和理解。一般教材在完成了數學概念的定義后,而立即轉入運算工作,這種方法導致學生對運算十分熟練,但在專業課上需要用某個數學概念去描述這一專業概念時,學生卻一片茫然。可見,數學概念教學對于數學為專業服務是至關重要的。

1、 展示概念背景,重視概念的引入

數學概念無論是直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來,還是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象才產生發展得來的,均來自實際問題的需要。所以,在進行概念教學時,既要善于靈活地從數學發展史的角度提出，也要從學生所學的專業內容引入，盡可能地選取接近其專業問題作為概念教學的引例，以改變過去那種僅僅以數學自身的需要去闡述概念的教學體系。 在講授導數概念時， 除了舉出書本上變化率問題中介紹的變速直線運動的速度外， 還可介紹一些與專業有關的變化率問題，在經貿專業可介紹產品總量對時間的導數就是總產量的變化率，產品總成本對產量的導數就是產品總成本的變化率（邊際成本）；在制藥專業授課時可介紹身體對藥物的敏感度。

2、引進專業模型,強化概念的運用

在完成了數學概念的定義后，學生理解了概念不一定就能真正掌握它,只有反復訓練學生對該概念在專業實用性上的認識,才能鞏固深化對概念的理解。實現這一要求,需要數學教師在教學準備階段積極求教于專業教師,請他們提供專業課上所用的數學知識點,弄清數學在專業上的應用情況,將相關的專業模型引到數學課來,突出數學的應用性，拉近數學與專業的距離。比如在工科專業講了導數概念及計算后，可以結合電子電路課程的感應電動勢、磁場的變化率等來加強導數概念在專業實用性上的認識。

三、滲透數學建模思想，服務學生實踐能力的掌握

掌握知識、積累知識固然十分重要，但惟有在知識的學習過程中所受到的思想、方法的啟發和體驗，才是今后事業獲得成功的關鍵，才是知識的真正價值所在。高職數學教育的目的不僅是為學習專業課打基礎，更要重視培養學生應用數學的意識、興趣、能力，讓學生學會用數學的思維方式觀察周圍的事物，用數學的思維方法創造性地解決實際問題。將數學建模的思想和方法融入高職數學課程教學,加強學生構建數學模型的訓練，有利于培養學生應用數學的意識和實踐能力。

數學實驗的興起、數學軟件功能的強大、現代教育技術和計算機多媒體的使用，為將數學建模思想引入數學教學中，提供了有利的條件。數學建模是數學知識與應用能力共同提高的最佳結合點，可以引導學生學習和接受不斷涌現的新概念、新思想和新方法，培養學生將實際問題抽象為數學模型的實踐能力。在講授函數最值時，可結合工程建設、生態、醫藥、保險等經濟領域實例；在講授微分方程時，可結合人口增長模型、傳染病模型等實例講解。

四、加強課堂教學改革，服務學生創新能力的培養

課堂教學著重探索知識產生的數學思想，再現歷史研究過程，使學生從中受到創新思維的熏陶，把隱藏在書本背后的問題的實質和方法挖掘出來傳授給學生，從而授給學生崇尚數學的理性精神和訓練創新意識。充分揭示和展現數學思維產生的原始過程.在人類文化遺產的寶庫中,最為珍貴的就是這些科學大師們的思想脈絡以及他們創造和發現知識的原始過程.具體地講,在教學工作中,教師應把主要精力放在兩個問題上:一是知識點產生、發展的歷史過程及其歷史地位；二是科學大師們在創造這些知識時的心智過程,即闡明科學發現的原始過程.在教學中要營造吸引學生參與、研究和發現知識的教學氛圍。教師應自始至終引導學生參加到知識的研究和發現的全過程中去,培養他們開拓新局面的思想和主動精神.

創造民主和諧的學習環境，質疑中孕育創新。教育家羅杰指出：“有利于創造活動的一般條件是心理的安全和心理的自由。”教學中，教師不以傳授者自居，而是創造一種寬松的環境氣氛，鼓勵學生自由爭辯、大膽質疑。培養學生創新能力的一個重要方面是讓學生會思考會提問題，于無疑處見有疑。教育學生既勇于放棄自己不成熟的想法，又敢于堅持自己合理的見解，在這個過程中學生既會感受到堅持真理、修正錯誤、實事求是的科學精神，又會感受到謙虛謹慎、和而不同、互相尊重的人文精神。

實施開放式教學，創設進行數學創新思維的情景。開放式教學概念是日本在20

世紀70 年代以后提出的，它是一種旨在創造一個有利于學生生動活潑和主動發展的教育環境，提供給學生充分發展的時間與空間的全面開放的數學教學形式。它包括時空的開放和內容的開放兩個層面。時空開放是基礎層面，是指數學教學時間和空間上要從課堂內延伸到課堂外，讓學生在生產和生活的實踐中去學習。內容開放是實質性層面，是指在數學教學中要注意引進利于學生發散型思維能力培養的開放性教學內容。

五、圍繞人才培養目標，服務學生教育

高職教育培養學生的目的不僅是從事某一職業所必不可少的知識和技能，更重要的是具有高尚的情操、健全的人格、完美的道德、強烈的社會責任感和遠大的眼光，在于造就全面的人，這是時代賦予我們的責任。作為一名高職教師，應該增強為學生服務的意識，轉變教育觀念，將學生的思想教育滲透和融合在教學中，為學生架設一個知識成長和精神成人的平臺，在這個平臺不僅教會學生采掘科學知識、掌握技能，而且要擷取思想的精華；不僅教會學生如何做事，更要教會學生怎樣做人。

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[關鍵詞] 教育理念 高等數學 教學策略

高等數學作為高職教育中大部分專業的基礎性或服務性課程，對學生數學思維與創新能力的培養、數學工具的掌握以及后繼課程的學習起重要作用，其教學質量關乎學生未來的學習和發展。從系統科學的觀點看，教學過程就是教與學之間信息傳遞與反饋的控制過程。信息傳遞過程中信息的組織形式、傳遞模式直接影響著信息接收的有效性[1]。目前，高職學生的數學基礎較差，我們必須及時轉變教育理念，緊緊圍繞教學目的，加強教學法研究，改革高等數學的教學模式和教學手段，營造良好的學習環境，培養學生的學習興趣，培養學生的數學思維能力、解決實際問題能力和創新能力。

1.高等數學課程教學內容

1.1教學內容分析

高等數學教學的內容可分為四個層次：概念層次、原理層次、擴展層次和應用層次。

概念層次是指高等數學教學內容中最原始、最基本的概念。如，極限、導數、原函數、定積分、不定積分、行列式、矩陣、概率等。這些概念是數學思想的精華，是形成數學思維的基礎。正確理解這些數學概念對學好數學、領會數學思想起著關鍵作用。

原理層次是指由基本概念導出的性質及原始定理等。如，積分的性質、運算法則、牛頓萊布尼茨公式等。理解這些性質和運算公式的推導，決定著對數學概念本質的理解，為抽象符號系統下進行推理證明的學習奠定基礎。

擴展層次是指由性質、原始定理導出的定理和結論等。如微分學中的夾逼定理、介值定理、極值判別法等，這部分定理和結論需要運用上一層的定理和結論進行證明，抽象性更強，也是數學應用的理論基礎。掌握這部分內容對擴展數學視野、促進邏輯推理思維起著極為重要的作用，是學會學習的重要階段。

應用層次是指對數學中的性質、原理、定理等的具體應用，可分為公式的、原理的、實際的三大類。

1.2優化教學內容，提高教學內容的針對性、應用性

1.2.1認真把握教材的選擇

高等數學作為高職教育中大部分專業的基礎性或服務性課程，自高等職業教育產生以來就有別于普通的大學數學課程，其教育目的是為學生的專業理論打基礎，為學生的專業實踐服務，其授課內容要緊密結合學生所學的專業，所以要打破材、綱、案的約束，根據不同專業特點選用不同的教材、編寫不同的教學大綱和教案，從而在教學上既能突出基礎，又能加強針對性，體現應用性。

1.2.2合理安排教學內容

由于高職教育中數學課程的教學時數較少，所以教學內容的選取應當少而精，做到實用、夠用，定理的證明等可略講。另外，高等數學的內容應與專業相貼近，針對不同系別和專業的學生，高等數學的教學內容和重點也應有所不同，如計算機專業應重點講述線性代數、圖論等內容，經貿類專業應重點講述微積分理論包括需求彈性、價格彈性等內容，經濟學類專業應重點講述概率論與數理統計等內容。

2.高等數學課堂教學結構

2.1課堂教學結構分析

一個完整的教學內容，盡管教學方式和方法是多種多樣的，但在整體結構上，高等數學教學過程呈現一定的結構性，可以概括為：（1）提出問題，了解背景；（2）抽象概括，獲得方法；（3）演示范例，鞏固概念；（4）探討實質，擴展結論。提出問題、抽象概括、演示范例、探討實質體現的是“教”的順序結構，了解背景、獲得方法、鞏固概念、擴展結論體現的是“學”的過程.數學的“教”和“學”的過程正是在這樣的結構中逐層深入、循環擴展、不斷豐富的。

2.2教學內容各層次教學

2.2.1概念層次的教學

學習的認知結構理論告訴我們，數學學習過程，是一個數學認知過程，其實質是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的[2]。學生認知結構的發展是在其認識新知識的過程中，伴隨著同化和順應的認知結構不斷再構建的過程，是在新水平上對原認知結構進行延伸、改組而成的新系統。

2.2.2原理層次的教學

數學原理是高等數學教學內容中的精華，是數學思想與方法的具體體現。數學原理的教學大致可分為兩大類：第一類是利用概念定義導出的運算法則和某些性質等。這一部分的教學要注重定義式的使用，注重板書過程教學，使學生通過板書過程進行思維、認識推理、形成印象、感悟方法。第二類是數學中的重要定理。這一部分是數學理論核心，是數學思想的集中體現，在教學中要對定理所表達的內容進行充分的解釋，運用與內容有關的實例引導學生思考，使學生獲得感性認識，進而達到數學思想上的提升。

2.2.3擴展層次的教學

擴展層次是利用已知結論推證另一結論，屬于廣義抽象的范疇，如用零值定理證明介值定理、用柯西中值定理證明洛必達法則等。要證明某個結論，就要利用已知正確的結論，經過合乎邏輯的推理導出要證的結論。正確的概念、準確的符號表達、演繹推理三段論的正確使用是進行正確推理的基本要素。因此，在教學中要注重概念的準確使用和推理過程的符號表達。

2.2.4應用層次的教學

應用是數學教學的目的之一，大體分為公式的、原理的、實際的三類，每一類訓練的重點是不同的。不管是哪一類的應用，都有一個從低級到高級的漸進過程，可分為四個階梯：直接的、變式的、探討的、綜合的。在教學過程中，要根據不同梯次的特點，選擇適合內容的教學方法，促進教學目標的實現。

3.改進教學方法

3.1運用“對比法”教學

用對比的方式來剖析高等數學中的概念，提高教學效果，增強學生學習的興趣。此外，在教學中還可以通過對新舊知識的對比、正確與錯誤的對比、公式間的對比、不同解題方法之間的對比等方法，提高教學效果。

3.2重視“直觀式”教學

高職數學教學以應用為目的，以夠用為度，教師應盡量運用猜想、畫圖、類比等直觀性教學法，將高等數學抽象的理論直觀化、簡單化，讓學生易于理解和接受。

3.3加強“應用性”教學

在教學中，讓學生更多地了解數學在他們專業課當中的作用，使學生知道數學可以解決他們的專業問題。如，在導數概念的教學中，經濟管理類的學生要以介紹邊際的概念與例子，而機電類專業可以介紹速率、線密度等的概念與例子。

4.更新教學手段

除了運用傳統的教學手段外，應有選擇地運用多媒體教學，通過直觀、形象的多媒體教學可以使學生在有限時間內迅速理解、掌握、獲取更多知識和信息。此外，隨著現代信息技術的發展，應充分發揮教學網站的計算機輔助教學手段，教師可以在教學網站這個平臺上展示高等數學與各個專業的聯系及各種教學素材（教學課件、習題解答等），增加師生交流與溝通。

總之，無論是改進教學方法，還是更新教學手段，其最終目的都是為了使授課結果滿足學生的合理需求。要做到授課結果切實滿足學生合理的需求，需要關注學生的不同需求，采用靈活的教學形式，使學生通過教師的講授、討論，增強學習興趣，提高自信心、主動性和分析思考能力；需要打破傳統教法瓶頸，開拓教學方法新路，讓教師“變主動為被動”，讓學生“變被動為主動”[3]。從而真正達到提高高職數學的教學質量，服務于高職教育的教學目標。

[參考文獻]

[1]高志亮.系統工程方法論[M].西安：西北工業大學出版社.2004：12.

篇(7)

【關鍵詞】過程數學

數學教育不等同于傳授數學知識，它不僅給學生提供了一種科學語言、一門知識，更應當是一種思想方法，是陶冶情操、訓練心智的一種工具。數學學者何良仆曾經說過：數學教育中重要的問題，不是教什么題材，而是教給學生更珍貴的東西——如何掌握題材。也就是說，數學教育中的價值不在于掌握數學知識，主要在于“數學過程”。

一、對“數學過程”的認識

“數學過程”是一個有關數學思維及數學教育的核心概念。它主要是對一系列思維活動過程的概括，即：數學概念、公式、定理、法則的提出過程；數學結論的形成過程；數學思想方法的探索及概括總結過程，其本質是以“抽象——符號變換——應用”為核心的思維過程。即數學是來源于現實生活并用于現實生活這一根本，從最原始模糊而籠統的印象，豐富多彩的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴格的邏輯演繹推理，進而在解決問題中加以應用，這就是數學過程數學過程是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的最基本、最有效的方法。

數學學習是一個通過長期系統數學活動來培養學生的數感、符號感、邏輯性、空間觀念、統計觀念以及應用意識與推理能力的過程，它培養學生嚴謹的科學態度、科學方法、科學的學習習慣、能力以及探究精神、創造精神和協作精神，使學生充分經歷“數學過程”的磨礪，在知識、智力、品質、情感、態度和價值觀等方面得到全面發展，成為適應社會進步的高素質人才。

二、教學中無“數學過程”教學的原因及弊端

如果學數學知識只為懂得某一知識的結論，而不了解事物發生、發展變化的過程，這樣的知識是殘缺不全的、是靜止的、孤立的知識。“數學過程”是數學知識之間的內在聯系，是嚴密數學思維的必要環節，是知識內化、構建數學知識體系的關鍵元素。只有掌握“過程”才能將各部分的知識融為一體，舉一反三，使學生的解題能力大大提高。

“數學是系統化了的知識。”數學的很多概念都蘊含了樸素的數學思想，基本上都來源于學生的生活經驗。應該說，學生認識這些樸素的思想應該很容易，可事實上學生學習“課本上的數學”很困難。主要原因在于數學的學科定義高度抽象、概括，教材不易呈現其形成與發展的過程，它所呈現的是形式化的、冰冷的結果，教學如果從這些“冰冷”的形式開始，學生就不可能經歷“火熱”的數學思考過程，直接學習現成的結論也不符合學生的認知特點和思維水平

在有關概念、定理、法則教學時，有些教師似乎很少關注隱藏在其背后的豐富的數學過程知識，為了考試，知識體系被簡單地肢解為一個個的知識點，強化題型覆蓋知識的作用，注重結論的使用和各種操作步驟記憶，用機械記憶和反復強化的方法進行以落實知識點為目的的訓練，這樣我們的數學課堂成了解題教學，從而導致學生對數學的興趣、態度、價值觀等心理傾向得不到相應的發展。如果你認真觀察比較教師發給學生的數學習題，不難發現，這些數學題不只十分樣板，各學校所提供的數學題相當劃一。原因顯然是緊扣考試，于是不同老師給學生的數學題都十分類似，對于考試的試題，我們看到學生經年累月身處沒有多大變化的數學經驗空間，不難想象他們漸漸會形成機械化的數學觀，也會逐漸失去學習數學的興趣。

究其原因主要有兩點：一是教者缺少追問學科概念的本質，二是沒有真正了解學生的思維特點與已有的知識經驗儲備。對于前者，我們強調教師追問為什么學習這些內容、所學習內容的核心是什么、如何建立聯系；后者主要包括學生的生活概念、學生的思維水平與認知特點及學生已有的知識儲備。當教師對這兩個根源有深入的思考后就能設計出有過程的教學。

三、注重“數學過程”教學、提高學生數學素質

要能充分發揮數學的作用，教學中必須設計有過程的教學，這就要求我們的教師備課時關注數學概念形成、思想的本質以及發展的歷史本源和原始動力，關注學生樸素的問題與思維過程，關注學生的生活經驗與數學概念之間的本質聯系與區別，利用思維沖突、質疑與障礙使學生獲得高水平理解力。激發學生學習的愿望與動機，體會到創造的樂趣。

注重培養學生觀察和發現問題的能力，讓學生在自主參與、合作探究中拓展實踐思路，不斷享受成功的體驗，感受創造過程中的無限樂趣。比如在等差數列前n項公式中提出1+2+3+…+100=?讓學生去探索為什么高斯用(1+100)×100/2式子計算，從而真正理解等差數列前n項和公式的由來，注重這個“數學過程”，學生即使忘記公式，他也能推算出等差數列求和結論。